Формирование статистического критерия прочности для материалов с гексагональной плотноупакованной кристаллической решеткой

На правах рукописи

Шкода Игорь Александрович

ФОРМИРОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО КРИТЕРИЯ ПРОЧНОСТИ ДЛЯ МАТЕРИАЛОВ С ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ ПЛОТНОУПАКОВАННОЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКОЙ

01.02.04 – Механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Волгоград – 2013

Работа выполнена в Камышинском технологическом институте (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Волгоградский государственный технический университет»

Научный руководитель доктор технических наук, доцент

Богданов Евгений Павлович.

Официальные оппоненты: Николаев Анатолий Петрович

доктор технических наук, профессор

Волгоградский государственный аграрный университет, кафедра «Водохозяйственное строительство», профессор;

Тырымов Александр Александрович

кандидат физико-математических наук,

доцент, Волгоградский государственный

технический университет, кафедра «Прикладная математика», доцент.

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А.»

Защита состоится « 29 » апреля 2013 года в 14:00 часа на заседании

Диссертационного совета Д 212.028.04 при Волгоградском государственном техническом университете по адресу: 400005, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного технического университета.

Автореферат разослан «27» марта 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Водопьянов Валентин Иванович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ^[1]

Актуальность темы исследования. Большинство прочностных расчётов базируются на гипотезах об однородности среды, рассматривая только одну - две характеристики макроскопической прочности и две характеристики упругих свойств. При этом известно, что большинство конструкционных материалов являются поликристаллическими телами, состоящими из большого количества различно ориентированных зёрен, обладающих различными видами анизотропии: упругих, пластических, прочностных и других свойств. Взаимодействие анизотропных зёрен приводит к возникновению неоднородного сложного напряжённо-деформированного состояния, что способствует возникновению пластических деформаций и разрушений в отдельных частях наиболее неблагоприятно ориентированных зёрен и постепенному распространению этих процессов в материале при увеличении нагрузки или времени. Очевидно, что статистические закономерности распределения микронапряжений и деформаций определяют характер протекания этих процессов. Однако зависимость этих процессов от типа материала и вида напряженного состояния в прочностных расчетах должным образом не учитывается.

Более точный учет свойства материала в прочностных расчётах является важной задачей, решение которой призвано обеспечить повышение точности и надежности расчетов, что в свою очередь позволит уменьшить материалоемкость. Пока разработаны статистические критерии прочности и пластичности для материалов с кубическим типом кристаллической решетки, обладающей высокой симметрией упругих свойств кристаллитов-зёрен, описываемой тремя независимыми упругими константами. Практический интерес представляет исследование влияния микронапряжений на особенности формирования поверхности разрушения для поликристаллов, у которых зёрна обладают более сложными свойствами и, прежде всего для материалов, имеющих гексагональную плотноупакованную (ГПУ) кристаллическую решётку. Эту решётку имеет ряд металлов, таких как Be, Mg, Со, Ti, Zn, Zr, являющихся основой большого числа сплавов, применяющихся для особо ответственных конструкций.

Актуальность выбранной темы диссертационной работы подтверждена её выполнением в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», государственный контракт № 14.В37.21.1091.

Цель работы – исследовать закономерности микронеоднородного деформирования в поликристаллических телах с гексагональной плотноупакованной (ГПУ) кристаллической решёткой и использовать полученные результаты для определения параметров статистических критериев прочности, которые позволяют оценивать механические свойства материалов для произвольного напряженного состояния.

Достижение поставленной цели требует решения следующих задач:

1. Обосновать вид статистических критериев, которые следует использовать для материалов, имеющих гексагональную кристаллическую решетку.
2. Разработать методы исследования, позволяющие аналитически и численно исследовать концентрацию микронапряжений и статистические параметры, характеризующие их распределение.
3. Определить статистические параметры, характеризующие изменение концентрации микронапряжения для ГПУ поликристаллов от вида напряженного состояния.
4. Разработать экспериментально-теоретическую методику уточнения расчетных значений параметров статистического критерия разрушения для реальных конструкционных материалов.
5. Использовать полученные параметры для исследования процесса формирования поверхностей разрушения при объёмном напряжённом состоянии.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Для материалов с гексагональной кристаллической решеткой разработаны два метода расчёта микронапряжений и статистических параметров, характеризующих их изменение для произвольного вида напряженного состояния, позволяющие получать их в аналитическом и численном виде.
2. Определены статистические параметры распределения микронапряжений и получены расчетные значения параметров статистического критерия разрушения.
3. Выявлены ограничения на пределы изменения параметров статистического критерия ориентированного разрушения в результате анализа девиаторного и меридианного сечений поверхностей разрушения, следующие из физических, статистических и геометрических предпосылок.
4. Разработана расчетно-экспериментальная методика уточнения параметров статистического критерия ориентированного разрушения, использующая полученные ограничения на возможный интервал их изменения.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается:

• использованием для расчета микронапряжений хорошо известного в механике метода конечных элементов и сравнением полученных результатов с аналитическим решением, полученным с использованием гипотезы Фойгта;
• согласованностью теоретических результатов по описанию формы предельной поверхности разрушения и изменения пластичности от жесткости напряжённого состояния с экспериментальными данными;
• проведённым сравнительным анализом полученных результатов по оценке прочности с другими известными критериями.

Практическая значимость результатов.

1. Определены дисперсии и ковариации всех компонент тензора микронапряжений, возникающие от действия единичных главных макроскопических напряжений для ГПУ поликристаллов. Эти параметры позволяют получить зависимость дисперсий любой компоненты микронапряжений для произвольного вида напряженного состояния, что представляет практический интерес не только для микромеханики, но и для физики твердого тела.
2. Разработана расчетно-экспериментальная методика уточнения параметров статистического критерия ориентированного разрушения, которая может быть использована на реальных материалах с любой кристаллической решёткой.

Реализация и внедрение результатов.

На созданный в ходе выполнения диссертационной работы программный продукт «Оценка параметров статистического критерия прочности на основе испытаний образцов с кольцевым надрезом» оформлена и подана заявка на получение свидетельства о регистрации программы в Федеральный орган исполнительной власти по интеллектуальной собственности. Правообладатель: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный технический университет». Авторы: Богданов Е.П., Шкода И.А.

Результаты диссертационной работы используются при расчётах конструкций на прочность в ООО «Завод Ротор», г. Камышин.

На защиту выносятся:

1. Методика определения дисперсий и ковариаций всех компонент тензора микронапряжений на объёмной конечно-элементной модели поликристалла с полиэдрической формой зерен.
2. Результаты исследования статистических закономерностей распределения микронапряжений и деформаций при различных видах напряженного состояния.
3. Расчетные значения параметров статистического критерия ориентированного разрушения, полученные для 9 материалов с ГПУ кристаллической решёткой.
4. Расчетно-экспериментальная методика уточнения параметров статистического критерия ориентированного разрушения.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на научных семинарах кафедры «Сопротивления материалов» ВолгГту (2006-2013 гг.), г. Волгоград, объединённых семинарах кафедр «Общетехнические дисциплины» и «Информатика» КТИ (ВолгГту), г. Камышин, на заседании кафедры «Транспортное строительство» СГТУ (2013 г.) г. Саратов, а также международных и всероссийских научных и научно-практических конференциях: «Прогрессивные технологии в обучении и производстве» (КТИ ВолгГту, г. Камышин 2006 – 2011 гг.), «Научно-техническая конференция» (ВолгГту, г. Волгоград, 2008, 2009, 2011 гг.), «Научно-практическая конференция» (Российский университет кооперации. - г. Волгоград, 2006, 2007 гг. ), "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самарский государственный технический университет. - г. Самара, 2007, 2008 гг.), Научно-практическая конференция молодых исследователей "Наука и молодёжь": информационные технологии и математическое моделирование в науке и образовании» (ВолгГСХА. - г. Волгоград, 2008 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 18 статьях и материалах конференций, 4 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК, 14 статей в сборниках трудов конференций.

Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованной литературы из 252 источников и 2 приложений. Основной текст изложен на 140 страницах, включая 32 рисунка и 11 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель и задачи работы, описана структура диссертации.

Первая глава посвящена обзору работ по экспериментальному и теоретическому исследованию неоднородного напряженно-деформированного состояния (НДС) поликристалла, обусловленному взаимодействием анизотропных зерен, и обзору известных статистических теорий прочности, рассматривающих структурные модели материала, учитывающие неоднородность свойств материалов.

Статистический подход развивался в работах Афанасьева Н.Н., Чечулина Б.Б., Волкова С.Д., Вайнштейна А.А., Новожилова В.В., Кадашевича Ю.И., Шура Д.М., Мазинга Г., Ишлинского А.Ю. и др. авторов.

Показано, что модели поликристаллических сред, оценка микронапряжений в которых производится с использованием теории случайных функций и модели поликристалла с использованием решения Эшелби для анизотропного включения не позволяют одновременно учесть упругую, прочностную и пластическую анизотропии зёрен, так как совместный анализ случайных тензорных полей упругих и прочностных свойств затруднен. Рассмотреть все виды анизотропии можно, решая статистическую задачу на основе детерминированного подхода, когда рассматривается случайная выборка из бесконечной генеральной совокупности различных ориентировок и форм зёрен, по которой и производится оценка статистических параметров микронапряжений, ответственных за наступления текучести или разрушения. Обзор экспериментальных работ по исследованию НДС в поликристаллах показал, что пока единственным методом исследования микронапряжений остается теоретические исследования на моделях поликристалла.

Дан обзор результатов по исследованию концентрации микронапряжений и их статистических закономерностей распределения от вида напряженного состояния, полученный на моделях, позволяющих получить аналитические решения и использующих численные методы решения. Показано, что ранее для расчёта микронапряжений методом конечных элементов решалась задача для плоского напряжённого состояния, что не позволило определить все компоненты микронапряжений и их статистические параметры. Рассмотрены ранее применяемые конечно-элементные модели поликристалла и установлено, что все они использовали квадратную форму зерен в виде шахматной доски или слоев со смещением. Такие формы зерен далеки от реальных, создают завышенную концентрацию микронапряжений при рассмотрении стыковки в углах квадрата сразу четырех зерен или обладают геометрической «анизотропией». Намечены пути совершенствования моделей поликристалла.

Статистические критерии текучести и разрушения, использующие зависимости концентрации микронапряжений от вида напряжённого состояния, впервые предложены Волковым С. Д. Им использовалась гипотеза, что дисперсия микронапряжений пропорциональна энергии деформации. В работах Багмутова В. П., Богданова Е. П. зависимости концентрации микронапряжений, определяющие возникновение микроразрушений и локальных сдвигов, получались на различных моделях поликристалла. Однако детально рассмотрены только материалы с кубическим типом кристаллической решетки, обладающей высокой симметрией упругих свойств кристаллитов-зёрен. Показана актуальность исследования особенностей формирования поверхности разрушения для поликристаллов, у которых зёрна обладают более сложными свойствами.

В главе рассмотрены различные статистические критерии прочности. Проведено обоснование вида статистического критерия прочности для материалов с ГПУ кристаллической решёткой. Учитывая, что ГПУ кристаллы не имеют слабых плоскостей спайности (отдельности), и плоскости, по которым возникают микротрещины, мало отличаются от направления, перпендикулярного главному макроскопическому напряжению 1, то для них можно использовать критерий ориентированного разрушения. При его создании принято, что локальным критерием разрушения является условие: , где – нормальные микронапряжения, ориентированные коллинеарно , - локальная прочность. Условие ориентированного разрушения имеет вид:

(1)

где - истинные разрушающие напряжения при растяжении и сжатии; P, Q, F – относительные параметры:

, , , (2)

определяемые отношением дисперсий и ковариаций микронапряжений , возникающих под действием единичных макроскопических напряжений . Очевидно, что для расчета на прочность нужно определение параметров P, Q, F для поликристаллов с ГПУ кристаллической решеткой, а также структурно-чувствительного параметра и прочности при растяжении . Показана необходимость разработки расчетно-экспериментальной методики по оценке этих параметров.

Вторая глава посвящена аналитическому исследованию микронапряжений и расчёту абсолютных и относительных статистических параметров распределения компонент тензора микронапряжений с использованием гипотезы об однородности деформаций для поликристаллов с ГПУ кристаллической решёткой. Рассмотрены 9 различных материалов: титан, бериллий, иттрий, кобальт, магний, цирконий, кадмий, цинк и графит. Упругие свойства кристалла в кристаллографических осях задаются пятью компонентами тензора упругости (вместо трёх у кубических кристаллов). Все компоненты тензоров упругости и податливости для произвольно ориентированного зерна с ГПУ решёткой были получены в явном виде, используя преобразования тензора четвертого ранга. Например:

(3)

Для упруго изотропных кристаллов упругие свойства не зависят от ориентации кристаллографических осей, поэтому выражения с множителями, содержащими направляющие косинусы, будут равны нулю. Поэтому упругую анизотропию можно характеризовать отличием этих параметров от нуля, а для сравнения степени анизотропии можно использовать относительные параметры, например:

(4)

Для ГПУ решётки количество относительных параметров упругой анизотропии равно трём, в то время как для кубических кристаллов, для которых достаточно одного . Для различных ГПУ материалов только одновременно учитывая изменение всех трех параметров анизотропии, можно проводить аналогии и прогнозировать изменение статистических параметров, характеризующих степень концентрации микронапряжений.

Упругие свойства рассмотренных ГПУ материалов значительно отличаются. Для примера на рис. 1 приведены формы поверхностей, показывающих изменение модуля нормальной упругости в зависимости от направления для ряда ГПУ кристаллов с различными параметрами анизотропии.

а) б) в) г)

Рисунок 1 – Поверхности, характеризующие изменения модуля упругости от направления нагрузки для ГПУ кристаллов: а) бериллий, б) цинк, в) кобальт, г) графит

С использованием параметров упругой анизотропии и поверхностей изменения модуля в диссертации произведена классификация ГПУ кристаллов.

Компоненты тензора микронапряжений в лабораторных осях для произвольно ориентированного зерна определяются законом Гука для анизотропного тела ij = Cijklkl. В соответствии с гипотезой однородности деформаций компоненты тензора деформаций kl определяются по закону Гука для изотропного тела. Исследовано влияние типа упругой анизотропии на зависимость уровня концентрации от вида напряжённого состояния для кристаллов с ГПУ кристаллической решёткой.

Для малых перемещений, используя принцип суперпозиции, для любого напряжённого состояния, задаваемого произвольными главными макроскопическими напряжениями , концентрация микронапряжения в произвольной точке случайным образом ориентированного зерна может быть найдена как сумма

, (5)

Здесь микронапряжение, возникающее под действием единичного главного напряжения; n2 = 2/1, n3 = 3/1 – относительные параметры, характеризующие вид напряжённого состояния в диапазоне напряжённых состояний, где 10.

Произведено численное исследование выражения (5) при изменении ориентировок зерна, задаваемых углами Эйлера с шагом 5° для ряда напряжённых состоянии в диапазоне изменения n2 и n3 [-1, +1]. Установлено, что для всех исследованных материалов с ГПУ решёткой поверхности K11 = Ф(n2, n3) существенно отличаются, что связано с различием типа упругой анизотропии (рис. 2). Во всех случаях концентрация микронапряжений минимальна для трехосного растяжения.

Рисунок 2 – Изменение коэффициентов концентрации микронапряжений K = 11/1 в зависимости от n2 = 2 /1 и n3 =2 /1 для бериллия, цинка, кобальта и иттрия

Рассматривая микронапряжение в случайно ориентированном зерне как сумму трех микронапряжений , возникающих от действия каждого главного макроскопического напряжения, можно в соответствии с теорией вероятности получить общую структуру зависимости дисперсий микронапряжений от вида напряжённого состояния:

, (6)

где – дисперсии; – ковариации (корреляционные моменты) микронапряжений, возникающих от единичных макронапряжений k и m. Для получения дисперсий и ковариаций произведено осреднение квадратов и попарных произведений микронапряжений, полученных с использованием гипотезы однородности для произвольно ориентированного зерна, по всем возможным ориентировкам зёрен, задаваемых углами Эйлера:

(7)

Определены дисперсии и ковариации для всех компонент тензора микронапряжений. В автореферате для краткости приведены выражения только для нормальных микронапряжений :

, (8)

где , ,

,

, где:

.

Здесь – коэффициент Пуассона, определяемый по Фойгту, а U, R, Z параметры анизотропии, выраженные через компоненты тензора упругости:

R = C13 – C12, Z = C11 + C33 – 2C13 – 4C44, U = 2(C13 – C11 + 2C44).

На рис. 3 (a, б, в, г) показано изменение дисперсий двух компонент нормальных микронапряжений, отнесённых к главному макроскопическому и , в зависимости от вида напряжённого состояния для поликристаллов Zn, Co. Видно, что вид зависимости концентрации микронапряжений существенно отличается для различных материалов. В диссертации приведены полученные выражения дисперсии и ковариации также и для касательных микронапряжений.

Рисунок 3 – Влияние объёмного напряжённого состояния на концентрацию микронапряжений в поликристаллах (гипотеза Фойгта): а), б) цинк; в), г) кобальт

Для каждого материала определены относительные параметры статистического критерия прочности P, Q, F.

Третья глава посвящена численному моделированию напряжённо-деформированного состояния на объёмной модели поликристалла методом конечных элементов. Этот метод позволяет наиболее полно учесть взаимодействие зерна с реальным окружением при выполнении условий совместности и равновесия. Для реализации этого подхода в работе использовалась модель поликристалла в форме пластинки (рис. 4, 5), зерна в которой имели шестигранную форму, толщина пластинки равнялась размеру зерна.

Рисунок 4 – Картина расположения границ Рисунок 5 – Детализация модели зёрен в расчётной модели на 31813 элементов – тетраэдров

Для определения статистических параметров, характеризующих распределение микронапряжений, использовалась следующая методика. Производилось решение для двух одноосных растяжений и . Расчет дисперсий всех компонент тензора микронапряжений для каждого решения определит приближенные значения и . Используя оба решения, находятся ковариации . Ковариации нельзя было определить при использовании только двух видов растяжений единичными макронапряжениями , поэтому их находили исходя из квазиизотропности поликристалла, например, для : . Для каждого материала производилось решение для десяти различных вариантов взаимного расположения зерен, выбираемого с помощью генератора случайных чисел. Затем определялся доверительный интервал для математических ожиданий соответствующих выборок дисперсий и ковариаций, исходя из предположения, что эти значения не коррелированны между собой. На рисунке 6 показаны поля микронапряжений в срединной плоскости пластинки.

Рисунок 6 – Изменение микронапряжений в сечении, проходящем через середину пластины, параллельно лицевой поверхности. Одноосное растяжение Материал титан

На рисунке 7 показано изменение дисперсий микронапряжений, полученных по формуле (6) и результатам расчета МКЭ для бериллия и титана в зависимости от отношения главных макроскопических напряжений и в интервале [-1;1].

а)

б)

Рисунок 7 – Изменение дисперсий микронапряжений в зависимости от соотношения главных макронапряжений: a) бериллий; б) титан

В диссертации приведены дисперсии и ковариации для всех изученных материалов, которые позволяют получить для них, используя (6), значения дисперсий для любого напряженного состояния. Получены регрессионные зависимости, связывающие дисперсии и ковариации, определенные численным расчётом, с параметрами упругой анизотропии.

Четвёртая глава посвящена разработке расчетно-экспериментальной методики уточнения относительных параметров статистического критерия ориентированного разрушения и сравнению оценки прочности по разработанному критерию с другими известными критериями.

Показано, что форму поверхности разрушения, получаемую с использованием статистических критериев прочности, определяют соотношение относительных параметров (2), характеризующие особенности взаимодействия зерен для анизотропии различного типа. Дана статистическая трактовка этим параметрам. В силу квазиизотропности поликристалла , поэтому параметр F равен коэффициенту корреляции: . Используя выражение для коэффициента корреляции нормальных напряжений , легко показать, что .

В диссертации приведены результаты расчёта P, Q, F и и для ряда материалов с ГПУ решёткой с использованием гипотезы однородности деформаций и МКЭ. Показано, что коэффициенты корреляции микронапряжений и для различных материалов резко отличаются. Это является важным отличием от поликристаллов с кубическим типом кристаллической решетки, для которых значения этих параметров мало изменяются даже для материалов с резко отличающимся уровнем анизотропии.

В таблице 1 приведены оценки относительных параметров P, Q, F, полученные МКЭ, и доверительные интервалы, показывающие возможное изменение средних значений этих параметров с вероятностью 0,95. Данные упорядочены по отношению экстремальных модулей упругости.

Таблица 1

	Be	Co	Mg	Ti	Zr	Cd	Zn	Графит
Emax/Emin	1,159	1,16	1,17	1,373	1,413	2,674	3,5	6,98
Р	2,487	1,122	0,922	0,575	1,554	3,448	2,70	1,893
Дов. инт. Р	0,266	0,219	0,099	0,096	0,210	0,449	0,255	0,882
Q	-1,033	-0,380	-0,282	-0,483	-0,386	-0,83	-0,687	-0,431
Дов. инт. Q	0,095	0,113	0,065	0,105	0,089	0,125	0,101	0,191
F	-0,122	-0,024	0,109	0,097	0,202	0,175	0,033	-0,276
Дов инт F	0,028	0,077	0,087	0,065	0,039	0,029	0,054	0,119
Двухос. Раст МКЭ/Фойгт	1,106 1,099	0,973 1,014	0,95 1,003	0,994 0,974	0,978 1,132	1,048 1,329	0,97 1,27	0,988 1,23
Трёхос. Раст МКЭ/Фойгт	1,452 1,364	0,955 1,311	0,897 1,25	0,962 1,248	0,929 1,477	1,074 1,984	1,04 1,804	1,026 1,734

Так как расчеты в работе проводятся по характеристикам, определяемым для химически чистых металлов, а реальные материалы содержат многочисленные легирующие добавки и примеси, то для уверенного применения статистического критерия прочности для реальных материалов в области развитых пластических деформаций, следует разработать методику экспериментального определения параметров критерия. При этом следует использовать эксперименты с различным напряженным состоянием, а рассчитанные параметры P, Q, F применять в качестве начальных значений, которые в процессе расчета должны варьироваться для обеспечения наилучшего соответствия расчетных и экспериментальных данных. Для получения корректных результатов нужно определить допустимые интервалы варьирования, которые должны следовать из ясных физических предпосылок или статистических положений.

Для этого проведено исследования возможной формы поверхности разрушения, соответствующей статистическому критерию (1) в девиаторном сечении (в этом сечении величина шарового тензора неизменна), а также в меридианных сечениях, в которых вид напряженного состояния остается неизменным с точностью до шарового тензора (или, что эквивалентно, параметр Лоде-Надаи ).

При исследовании уравнения девиаторного сечения выражение статистического критерия (1) преобразуется от осей главных напряжений в оси, в которых одна из главных осей равно наклонена к осям главных напряжений, а две другие расположены в девиаторной плоскости. Установлено, что величина параметра F=1 является максимально возможной. Именно при этом значении F девиаторное сечение меняет кривизну. Кроме того, это значение F совпадает с максимально возможным значением F, полученном из вероятностной трактовки критерия прочности, так как F равен коэффициенту корреляции .

Минимальная оценка F была получена из условия, что дисперсии микронапряжений при любом виде напряженного состояния больше или равны нулю, откуда . Кроме того, учитывая, что , была получена оценка . На рисунках 8а, 8б приведены формы девиаторного сечения поверхностей разрушения для четырёх поликристаллов с ГПУ решёткой (цинка, титана, бериллия и иттрия) для .

а) б)

Рисунок 8 – Формы девиаторного сечения поверхности разрушения для различных контуров хрупкого разрушения поликристаллов с ГПУ решёткой при р=0,25, соответствующие критерию (1), построенные по параметрам P, Q, F, рассчитанных по a) гипотезе Фойгта, б) МКЭ

При исследовании функции меридианного сечения на возможность менять кривизну используем кривые предельного состояния в координатах интенсивность – шаровой тензор. Для этого преобразовываем условие прочности ориентированного разрушения (1) с помощью подстановок:

, , ,

где - интенсивность напряжений, - шаровой тензор. Учитывая, что знак второй производной (где - функция меридианного сечения) не должен меняться на всем интервале изменения шарового тензора , где прочность при трёхосном равномерном растяжении, получено общее решение для ограничения на :

(9)

Из условия действительности значений следует дополнительное ограничение:

(10)

Для всех материалов произведены расчёты по критерию (1) относительной прочности при трёхосном гидростатическом растяжении и при двухосном растяжении (табл. 1) с использованием параметров P, Q, F, полученных методом конечных элементов и с использованием гипотезы однородности деформаций, для , когда для всех материалов выполняются ограничения, выявленные при исследовании девиаторного и меридианного сечений поверхности разрушения. Рассчитанные разными методами параметры (табл. 1) критерия (1) использованы для построения поверхностей разрушения, которые представлены на рис. 9 для плоского напряженного состояния.

Интерес представляет сравнение полученных контуров в области двухосного растяжения и растяжения – сжатия при плоском напряженном состоянии, где 3=0 и F не влияет (рис. 9). Анализируя эти контуры, можно заключить, что влияние статистических параметров P и Q наиболее велико в области двухосного растяжения. Причем прочность при двухосном растяжении может быть как больше, так и меньше по сравнению с одноосным растяжением (так, для материалов Be и Cd прочность при двухосном растяжении больше прочности при одноосном растяжении, а для других меньше). Сравнивая контуры разрушения, полученные по Фойгту и по МКЭ (рис. 9, а, б) с большим числом экспериментальных данных при плоском напряженном состоянии, можно сделать вывод, что более достоверно описывают эксперимент параметры критерия, полученные по МКЭ. Параметры, полученные на основании гипотезы Фойгта, могут чрезмерно завышать прочность при двухосном растяжении.

а) б)

Рисунок 9 - Контуры разрушения для плоского напряжённого состояния (р=0,25) для ряда ГПУ материалов, построенные с использованием статистического критерия прочности (1) по параметрам P, Q, F (2), рассчитанных по a) гипотезе Фойгта, б) МКЭ

Для экспериментальной оценки параметров статистического критерия ориентированного разрушения в диссертационной работе была разработана методика, базирующаяся на испытании цилиндрических образцов с кольцевыми надрезами различной остроты, которые позволяли получать в зоне разрушения различные виды напряженных состояний, отличающиеся соотношением шарового тензора и интенсивности напряжений.

Для этого производится построение кривых деформирования для образцов с различными кольцевыми надрезами в координатах . Здесь осреднённое истинное напряжение, определяемое по площади поперечного сечения А, соответствующей нагрузке F; истинная деформация в зоне концентратора, определяемая по начальному и текущему диаметру минимального сечения. В качестве исходных данных рассматривались кривые деформирования образцов из титанового сплава 5В: гладкого и с радиусами кольцевого надреза 2,3; 1,5; 0,85; 0,5 (мм), при соотношении диаметров d/D=0,707. Кроме того, использованы испытания с шестикратными переточками образца, которые производились после начала образования шейки при достижении =5% пластической деформации, что позволило получить характеристики без существенного влияния формы шейки.

Затем кривые деформирования перестраивались в координаты интенсивность истинных напряжений и интенсивность деформаций . Для гладкого образца для этого можно использовать решения Бриджмена или Давиденкова. Коэффициенты «упрочнения» , которые учитывают кривизну шейки, создающую неоднородное напряжённое состояние в зоне минимального сечения для гладкого образца, отличаются незначительно. Однако установлено, что для малых радиусов кривизны в кольцевых надрезах лучшее соответствие перестроенных кривых единой кривой деформирования в координатах , полученной на образцах с переточками шейки, даёт поправка по Бриджмену. Поэтому именно она использовалась в дальнейших расчётах для определения интенсивности напряжений .

(11)

Здесь диаметр и радиус кривизны в шейке или надрезе.

Для определения интенсивности напряжений, соответствующей разрушению, использовали критерий ориентированного разрушения (1), записанный в виде функции интенсивности напряжений от безразмерных параметров n1, n2, n3, определяющих вид напряженного состояния:

(12)

Здесь ; истинные разрушающие напряжения при растяжении и сжатии, , где - осевое, радиальное, тангенциальное напряжения, выражаются через параметр Лоде и показатель жесткости напряженного состояния :

Для описания разрушения использовали значения радиусов в надрезе, полученные измерением после разрушения. Для аппроксимации кривой деформирования гладкого образца использовалось уравнение степенного упрочнения , где K=225,16 МПа, n=0,21395 – параметры упрочнения; МПа - предел упругости получены обработкой кривой деформирования для гладкого образца с переточками. При , то есть равна условному пределу текучести. Погрешность аппроксимации, оцениваемая отклонением от экспериментальных значений, была менее 1,5%. По Бриджмену для центральной части сечения: а

В качестве начальных значений P, Q, F принимались величины, полученные расчетом по МКЭ. Затем, используя экспериментальные значения истинных разрушающих напряжений, производили минимизацию суммы квадратов разностей для каждого типа радиусов кривизны, изменяя параметры статистических критериев P, Q, F и :

, (13)

где экспериментально определяемое истинное разрушающее напряжение для каждого вида надреза, 4 – это количество типов образцов (гладкий с естественной шейкой и три различных R); Re() – означает, что берётся только действительная часть комплексного числа, которым может быть теоретическое значение напряжений и деформаций в процессе итераций, когда необеспеченны накладываемые ограничения.

После минимизации для титанового сплава 5В было получено: P=0,58, Q=-0,49, F=0,17. Значения параметров P и Q находятся внутри доверительного интервала, полученного расчетом МКЭ (табл. 1), только значение F выходит за пределы, полученные моделированием. Это, видимо, связано с ограничениями используемой модели поликристалла, в которой использована поликристаллическая пластинка, толщина которой равна размеру зерна (рис. 4). На ней, видимо, не удалось корректно определить ковариации микронапряжений от макронапряжений, действующих перпендикулярно пластинке.

В работе проведён сравнительный анализ достоверности описания полученных результатов с применением различных известных критериев прочности. Критерии Волкова С.Д., а также Писаренко Г.С. - Лебедева А.А. являются частными случаями критерия (1). При значениях параметров P=1, Q=F=-0,5, критерий (1) соответствует критерию Писаренко-Лебедева. При P=1, Q=F=-, где коэффициент Пуассона, равный для титана 0,32, критерий (1) соответствует критерию Волкова. При этих фиксированных значениях параметров P, Q, F производилась минимизация выражения (13) с целью отыскания параметра для критериев Писаренко-Лебедева и Волкова. Получено= 0,63 и 1,72 соответственно. По критерию Волкова прочность при растяжении значительно больше, чем для сжатия, что не подтверждается экспериментом. На рис. 10 показаны меридианные сечения, соответствующие , для критерия Писаренко-Лебедева (прямая 1), критерия Волкова при =1,72 (кривая 2) и для критерия Волкова при =0,42 (кривая 3). Величина в последнем случае соответствует максимальному значению ограничения (9). Критерию ориентированного разрушения (1) соответствует кривая 4.

Рисунок 10 – Меридианные сечения, соответствующие (растяжение с точностью до шарового тензора) для различных критериев прочности. Пояснения в тексте

Диапазон напряженных состояний, который обеспечивают образцы с кольцевым надрезом (от N=1 до N=4,3), обозначен стрелками. Точками показаны экспериментальные данные. Видно, что в пределах исследованного диапазона, а также для сжимающих шаровых тензоров критерий ориентированного разрушения (1) и критерий Писаренко-Лебедева дают приблизительно одинаковые результаты. Однако в области наиболее опасных напряженных состояний, близких к всестороннему растяжению, критерий Писаренко – Лебедева более чем в 2.5 раза завышает прочность по сравнению с критерием (1). Именно высокая прочность в области всестороннего растяжения привела Писаренко Г.С. и Лебедева А. А. к необходимости модификации критерия за счет введения в него эмпирического коэффициента А в степени, зависящей от напряженного состояния , где . Введение этого параметра привело к тому, что прочность при трехосном растяжении для рекомендованных А<1 оказалась равной нулю. Это, на наш взгляд, противоречит эксперименту, так как массивные образцы с трещинами, в которых реализуются условия плоской деформации, обеспечивающие в устье трещины напряженное состояние, близкое к всестороннему растяжению, могут воспринимать большие нагрузки.

С использованием решения Вестергаарда проведено определение эквивалентных напряжений в окрестности трещины с использованием рассматриваемых критериев. Показано, что критерий прочности Писаренко-Лебедева дает оценку эквивалентного напряжения на 30% большую, чем критерий (1).

На рис. 11 показаны контуры разрушения при плоском напряженном состоянии для рассмотренных критериев для сплава 5В. Как видно, различия в прочности в области двухосного растяжения невелики. Максимальные расхождения, наблюдаемые при , менее 7%. Однако, испытания образцов с кольцевым надрезом, когда реализуются условия объёмного напряженного состояния, дают различия в оценке прочности по критерию Волкова и критерию (1) более 30%. Это указывает на то, что для определения параметров критерия (1) следует использовать испытания не при плоском, а объемном напряженном состоянии, что и реализовано в разработанной методике.

Рисунок 11 – Контуры разрушения для плоского напряжённого состояния для титанового сплава 5В, по критериям: Писаренко-Лебедева при А=1 (кривая 1), Волкова при нормализованном =0,42 (кривая 2) и ориентированного разрушения (кривая 3)

Для подтверждения адекватности критерия ориентированного разрушения (1), он был использован для построения кривых деформирования в координатах для образцов с надрезом и для описания зависимости пластичности от вида напряженного состояния. Теоретическую величину пластичности находили, используя уравнение кривой деформирования и теоретические значения предела текучести и интенсивности разрушающего истинного напряжения, вычисляемой по формуле (12):

(14)

Где теоретические значения предела текучести определялись по статистическому критерию для неориентированного скольжения, разработанному Багмутовым В.П. и Богдановым Е.П., так как в ГПУ кристаллах имеется одно основное семейство плоскостей скольжения, совпадающее с основанием шестигранника кристаллической решетки:

(15)

Здесь отношение пределов текучести при растяжении и сжатии; – показатель жесткости НДС (0 -шаровой тензор). Для определения N при описания возникновения пластических деформаций использовали начальные значения радиусов надреза R для недеформированных образцов.

В качестве начальных значений выбирались и , когда (15) соответствует критерию Мизеса. Затем параметры критерия текучести уточнялись, минимизируя сумму квадратов разностей теоретических и экспериментальных пластичностей для изученных радиусов надрезов:

Получено для критерия неориентированной текучести ,

В соответствии с формулой (14), с учетом (15) и (12), получена теоретическая функция изменение пластичности для и произведено сравнение с экспериментом (рис. 12). Для оценки адекватности полученных значений параметров критерия на рис. 12 произведены зоны разброса изменения пластичности при различных параметрах жесткости НДС. Установлено хорошее соответствие эксперимента и теории. По формуле (14) можно получить функции изменения пластичности для любого . На рис. 12, для примера, приведены кривые для и 0. Расчет дал пересекающиеся функции пластичности для титанового сплава при различных видах девиатора напряжений, что ранее наблюдалось для некоторых материалов в экспериментах Богатова А.А., Мижирицкого О.И. и др.

Рисунок 12 – Изменения пластичности от показателя жёсткости напряжённого состояния для титанового сплава 5В: -.- - теоретическая зависимость при =+1; -- - теоретическая зависимость при =0; ___ - теоретическая зависимость при =-1; .. - эксперимент при =-1; xxx - ограничение зоны разброса изменения пластичности при =-1 сверху и снизу

Этому явлению дано объяснение в результате исследования меридианных сечений для исследуемого материала. Установлено, что меридианные сечения поверхности разрушения при различных значениях параметра Лоде-Надаи для материалов с ГПУ кристаллической решеткой могут пересекаться в области трёхосного растяжения. Эта особенность пока выявлена только для ГПУ материалов и впервые позволяет дать теоретическое объяснение экспериментальному факту необычного изменения характеристик пластичности.

В заключении диссертации приводятся основные научные и прикладные результаты, полученные автором в процессе выполнения работы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Для ГПУ поликристаллов разработаны два метода, предназначенные для исследования закономерностей изменения концентрации микронапряжений и статистических параметров, характеризующие их распределение, от вида напряжённого состояния, позволяющие получить аналитическое и численное решения.
2. Определены статистические параметры, с помощью которых можно дать оценку концентрации микронапряжении для произвольного вида напряженного состояния для девяти изученных материалов с ГПУ кристаллической решеткой.
3. Определены возможные пределы изменения статистических параметров при их экспериментальном определении в результате анализа меридианного и девиаторного сечений поверхности разрушения с использованием статистического и геометрического подходов.
4. Разработана расчетно-экспериментальная методика уточнения параметров статистического критерия ориентированного разрушения с использованием испытаний цилиндрических образцов с кольцевыми надрезами различной кривизны, базирующаяся на решении Бриджмена.
5. Показана возможность описания различного типа кривых изменения предельной пластичности для произвольного напряженного состояния с помощью статистических критериев текучести и пластичности.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах.

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Богданов, Е.П. Особенности микровзаимодействия зёрен в ГПУ поликристаллах и вид поверхности разрушения./ Е.П. Богданов, И.А. Шкода //Известия Волгоградского технического университета: межвуз. сб. научн. ст. 10(48)/ ВолгГТУ. - Волгоград, 2008.- С. 106-109. (Сер. Проблемы материаловедения, сварки и прочности в машиностроении. Вып. 2).
2. Багмутов, В.П. Оценка опасности разрушения в гладких и надрезанных образцах с использованием статистических критериев прочности / В.П. Багмутов, Е.П. Богданов, И.А. Шкода//Известия Волгоградского технического университета: межвуз. сб. научн. ст. 11(59)/ ВолгГТУ. -Волгоград, 2009.- С. 116-119. (Сер. Проблемы материаловедения, сварки и прочности в машиностроении. Вып. 3).
3. Богданов, Е.П. Поверхности разрушения для поликристаллов с гексагональной плотноупакованной решёткой для статистического критерия ориентированного разрушения/ Е.П. Богданов, И.А. Шкода/ Современные проблемы науки и образования. 2010. № 5. С. 31-34.
4. Багмутов, В.П. Определение параметров статистического критерия разрушения для ГПУ материала / В.П. Багмутов, Е.П. Богданов, И.А. Шкода// //Известия Волгоградского технического университета: межвуз. сб. научн. ст. 10(48)/ ВолгГТУ. -Волгоград, 2011.- С. 67-72. (Сер. Проблемы материаловедения, сварки и прочности в машиностроении. Вып. 5).

Научные статьи в сборниках и периодических изданиях

5. Богданов, Е.П. Влияние вида упругой анизотропии на концентрацию микронапряжений / Е.П. Богданов, И.А. Шкода // Сборник научных статей проф.-препод. состава по итогам научно-практ. конф. РУК - Волгоград: / Российский университет кооперации. - г. Волгоград: Волгоградское научное издательство, 2006. - С. 285-294.
6. Богданов, Е.П. Относительные параметры упругой анизотропии для кристаллов с ОЦК и ГПУ решёткой / Е.П. Богданов, И.А. Шкода // Прогрессивные технологии в обучении и производстве: материалы IV всероссийской конференции / КТИ ВолгГТУ. - КТИ ВолгГТУ, 2006. - С. 49-51.
7. Богданов, Е.П. Классификация с помощью относительных параметров упругой анизотропии поверхностей, характеризующих изменения модуля упругости от направления / Е.П. Богданов, И.А. Шкода // Прогрессивные технологии в обучении и производстве: Материалы IV Всероссийской конференции: выпуск 1 / КТИ (филиал) ВолгГТУ. - г. Камышин, 2006. - С. 52-55.
8. Богданов, Е.П. Вид упругой анизотропии и концентрация микронапряжений в поликристаллах/ Е.П. Богданов, И.А. Шкода // Сборник трудов Четвёртой Всероссийской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (ММ-2007): Самарский государственный технический университет. - г. Самара, 2007 - С. 51-53.
9. Богданов, Е.П. Микровзаимодействия анизотропных зёрен и вид поверхности разрушения/ Е.П. Богданов, И.А. Шкода // Сборник трудов Пятой Всероссийской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (ММ-2007): Самарский государственный технический университет. - г. Самара, 2008. С. 62-65.
10. Шкода, И.А. Получение статистических параметров критериев прочности методами компьютерного моделирования / И.А. Шкода // Вторая международная научно-практическая конференция молодых исследователей "Наука и молодёжь". Направление "Информационные технологии и математическое моделирование в науке и образовании": 14-16 мая 2008 г / ВолгГСХА. - г. Волгоград, 2008. - 441-445.
11. Богданов, Е.П. Корреляционные параметры распределения микронапряжений в поликристалле и форма девиаторного сечения поверхности разрушения/ Е.П. Богданов, И.А. Шкода// Прогрессивные технологии в обучении и производстве: материалы V всероссийской конференции / КТИ ВолгГТУ, 2008. - С. 28-31.
12. Богданов, Е.П. Форма поверхности разрушения и микровзаимодействия зёрен в ГПУ поликристаллах / Е.П. Богданов, И.А. Шкода// Сборник материалов Третьей международной конференции "Деформация и разрушение материалов и наноматериалов", Москва, 12-15 октября 2009. Под общей редакцией академика О.А. Банных. — M: Интерконтакт Наука, 2009, том 1, 527 с. (в 2-х томах), c.28-29.
13. Шкода, И.А. Особенности формирования девиаторного сечения и вид поверхности разрушения для поликристаллов с гексагональной плотноупакованной (ГПУ) кристаллической решёткой / И.А. Шкода //VI Российская ежегодная конференция молодых научных сотрудников и аспирантов. Москва. 17-19 ноября 2009 г. / Сборник статей под редакцией академика РАН Ю.В. Цветкова и др. - М: Интерконтакт Наука, 2009, С. 94-96.
14. Багмутов, В.П. Статистический критерий прочности для поликристаллов с различными типами кристаллической решётки / В.П. Багмутов, Е.П. Богданов, И.А. Шкода// Прогрессивные технологии в обучении и производстве: материалы VI Всероссийской конференции / КТИ ВолгГТУ. - КТИ ВолгГТУ, 2009. С. 27-31.
15. Багмутов, В.П. Сравнение контуров разрушения, построенных по статистическим параметрам распределения микронапряжений, полученным на различных моделях ГПУ поликристалла / В.П. Багмутов, Е.П. Богданов, И.А. Шкода // Инновационные технологии в обучении и производстве: материалы VII Всероссийской конференции / КТИ ВолгГТУ. - КТИ ВолгГТУ, 2010. С. 8-11.
16. Багмутов, В.П. Оценка прочности и пластичности образцов с кольцевым надрезом на основе статистических критериев прочности / В.П. Багмутов, Е.П. Богданов, И.А. Шкода// Инновационные технологии в обучении и производстве: материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции / КТИ ВолгГТУ, 2011. С. 7-10.
17. Багмутов, В.П. Моделирование деформирования и разрушения образцов с кольцевыми надрезами на основе статистических критериев / В.П. Багмутов, Е.П. Богданов, И.А. Шкода//Аграрная наука - основа успешного развития АПК и сохранения экосистем. Матер. Межд. Научн.-практ. конф. Т. 3. –Волгоград: ФГБОУ ВПО Волгоградский ГАУ, 2012. – С. 353-357.
18. Богданов, Е.П. Влияние вида напряженного состояния на концентрацию микронапряжений в ГПУ поликристаллах / Е.П. Богданов, И.А. Шкода // Аграрная наука- основа успешного развития АПК и сохранения экосистем. Матер. Межд. Научн.-практ. конф. Т. 3. –Волгоград: ФГБОУ ВПО Волгоградский ГАУ, 2012. – С. 358-363.

Шкода Игорь Александрович

ФОРМИРОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО КРИТЕРИЯ ПРОЧНОСТИ ДЛЯ МАТЕРИАЛОВ С ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ ПЛОТНОУПАКОВАННОЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКОЙ

Автореферат

Подписано в печать 25.03.2013. Заказ № 309. Тираж 100 экз. Печ. Л. 1.0.

Формат 60x48 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Отпечатано: ИП Хабибулин Р.И., ИНН 343602221180, Волгоградская обл.,

г. Камышин, ул. Пролетарская, 4, тел.: 8 (84457) 4-34-00.

---

^[1] Автор выражает признательность и благодарность соконсультанту, д.т.н., профессору Багмутову В.П. за ценные советы и замечания при написании диссертации