Моделирование и оптимизация тонкостенных однонаправленно армированных панелей из полимерных композиционных материалов

На правах рукописи

ГЛЕЧИКОВ ДМИТРИЙ ИГОРЕВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ТОНКОСТЕННЫХ
ОДНОНАПРАВЛЕННО АРМИРОВАННЫХ ПАНЕЛЕЙ

ИЗ ПОЛИМЕРНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Специальности:

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Новосибирск – 2008

Работа выполнена в Новокузнецком филиале-институте Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Каледин Валерий Олегович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, доцент

Рояк Михаил Эммануилович

доктор технических наук, профессор

Тихомиров Виктор Михайлович

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной

механики им. С.А. Христиановича СО РАН,

г. Новосибирск

Защита состоится «12» февраля 2009 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.06 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет» по адресу: 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан «25» декабря 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Чубич В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В настоящее время существует тенденция к расширению области применимости композиционных материалов, армированных микроразмерными волокнами. Ранее их применение в конструкциях широкого назначения сдерживалось высокой стоимостью производства, связанной с низкой производительностью технологического оборудования. С появлением технологии пултрузионного формования стало возможным снизить стоимость конструкций до величин, делающих их применение экономически оправданным в таких массовых конструкциях, как настилы мостов, транспортные средства и т.п.

Однако технология пултрузионного формования накладывает ограничения на расположение армирующих волокон в материале, позволяя производить преимущественно однонаправленно армированные элементы конструкций. Это затрудняет реализацию потенциально высоких прочностных свойств волокнистых композиционных материалов путем выбора рационального армирования. В связи с этим на первый план выдвигается задача оптимизации проектируемых конструкций, важная для изделий массового и крупносерийного производства.

Таким образом, приобретает актуальность задача разработки компьютерного обеспечения проектирования и оптимизации тонкостенных однонаправленно армированных конструкций, решение которой должно базироваться на математическом моделировании механического поведения проектируемых конструкций.

Целью диссертации является разработка средств математического моделирования статического деформирования и устойчивости тонкостенных однонаправленно армированных конструкций из полимерных композиционных материалов применительно к задачам параметрического анализа и оптимизации.

Для достижения цели поставлены и решены следующие задачи.

1. Разработать математические модели деформирования и устойчивости тонкостенных коробчатых конструкций из однонаправленно армированных полимерных композиционных материалов, учитывающие поведение конструкции на макро- и метауровне.

2. Разработать алгоритм оптимизации по массе тонкостенных коробчатых панелей из композиционных материалов.

3. Разработать алгоритмы параметрического исследования зависимости напряженно-деформированного состояния тонкостенных коробчатых панелей от жесткостных и геометрических параметров.

4. Реализовать в виде вычислительных программ алгоритмы параметрического исследования и оптимизации тонкостенных коробчатых конструкций из полимерных композиционных материалов.

5. Апробировать разработанные математические модели, алгоритмы и вычислительные программы на прикладных задачах оптимизации тонкостенных панелей из композиционных материалов.

Методы выполнения работы. Метод конечных элементов для построения дискретной модели тонкостенных коробчатых конструкций, методы линейной алгебры для решения алгебраических задач с матрицами высокого порядка, методы многомерной оптимизации для нахождения оптимальных значений параметров конструкций, методы объектно-ориентированного анализа и проектирования для разработки пакета программ математического моделирования.

Научная новизна.

1. Разработана двухуровневая модель механического поведения однонаправленно армированных тонкостенных панелей, позволяющая выделить на макроуровне гладкую составляющую полей напряжений и деформаций и учесть на метауровне особенности совместного деформирования отдельных конструктивных элементов.

2. Разработан алгоритм численно-аналитического решения задачи статики тонкостенной конструкции для параметрического исследования модели, позволяющий получить зависимость численного решения в виде ряда по степеням нескольких варьируемых параметров.

3. Разработан алгоритм оптимизации по массе тонкостенной однонаправленно армированной панели с использованием двухуровневой модели, в котором снижение трудоемкости оптимизации достигается за счет использования аналитической модели макроуровня для получения начального положения оптимума с последующим уточнением его положения на численной модели метауровня.

4. Определены оптимальные конструктивные параметры тонкостенных однонаправленно армированных панелей при действии распределенных и сосредоточенных нагрузок, достижение прочностных свойств которых не может быть выполнено за счет выбора рациональной схемы армирования.

Достоверность результатов обеспечивается корректным применением апробированных методов теории упругости, механики конструкций, методов численного решения краевых задач, исследованием сходимости итерационных последовательностей и сопоставлением отдельных расчетно-теоретических результатов с экспериментальными данными.

Практическая значимость состоит в разработке моделей, алгоритмов и программных средств для оптимизации и параметрического исследования напряженно-деформированного состояния пространственных однонаправленно армированных конструкций типа длинномерных панелей из тонкостенных коробчатых профилей, которые могут быть использованы для определения оптимальных конструктивных параметров на стадии эскизного проектирования.

Реализация результатов. Результаты диссертации (методика математического моделирования и пакет программ) используются в ООО «Компания «Армопроект» (г. Москва), что подтверждено справкой об использовании результатов диссертации. Основные результаты работы могут представить интерес для предприятий, занимающихся проектированием и исследованием конструкций, изготавливаемых из однонаправленно армированных полимерных композиционных материалов.

Предмет защиты и личный вклад автора. На защиту выносится:

1. Двухуровневая математическая модель механического поведения однонаправленно армированных тонкостенных панелей.

2. Численно-аналитические алгоритмы определения зависимости напряженно-деформированного состояния конструкций из композиционных материалов от геометрических и жесткостных параметров.

3. Алгоритм оптимизации по массе тонкостенных коробчатых конструкций из полимерных композиционных материалов с использованием полиномиальной аппроксимации функций варьируемых параметров, входящих в ограничения по прочности и жесткости.

4. Программные средства проведения параметрических исследований и оптимизации тонкостенных коробчатых конструкций в составе пакета программ математического моделирования с открытым интерфейсом.

5. Результаты расчета оптимальных конструктивных параметров однонаправленно армированных композитных конструкций типа длинномерных панелей из тонкостенных коробчатых профилей.

Автору принадлежит: постановка задач исследований; разработка математических моделей, численно-аналитических алгоритмов расчета, методики оптимизации; реализация на ЭВМ моделей, алгоритмов; проведение вычислительных экспериментов и анализ результатов.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на VI, VII и VIII Региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (Новокузнецк, 2006, 2007 и 2008 г.), 4-ой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007 г.), Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь: проблемы, поиски, решения» (Новокузнецк, 2007 г.), конференции «Инновационные недра Кузбасса. IT-технологии» (Кемерово, 2008 г.)

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 5 работах, приведенных в библиографическом списке к автореферату, в том числе 4 статьях в сборниках трудов конференций и 1 статье в издании, рекомендованном ВАК.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, за­ключения, библиографического списка из 127 наименований и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 163 страницы, в том числе 36 рисунков и 10 таблиц. В первой главе приведен краткий обзор опубликованных работ по теме диссертации. В трех последующих главах изложены собственные результаты автора. В заключении представлены основные выводы по работе. В приложения вынесены сведения вспомогательного характера и данные об использовании результатов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе приведен обзор известных результатов по проблеме рационального проектирования и оптимизации тонкостенных конструкций из полимерных композиционных материалов.

Вопросам проектирования конструкций из композиционных материалов посвящены работы И.Ф. Образцова, Ю.Н. Работнова, В.В. Васильева, Г.А. Ванина, В.А. Бунакова, Ю.Н. Немировского, А.Я. Григоренко, Э.И. Григолюка, и других, в которых созданы методы расчета и оптимизации как слоистых пластин и оболочек, так и многоэлементных конструкций. Однако механические свойства тонкостенных коробчатых конструкций, изготавливаемых методом пултрузионного формования, имеют особенности: однонаправленное армирование лишает возможности достижения высоких прочностных свойств за счет выбора рациональной схемы армирования, а малое число подкрепляющих стенок ослабляет силовую связь между несущими слоями. Поэтому аналитические модели деформирования слоистых пластин не всегда применимы к панелям рассматриваемого класса, а общие алгоритмы оптимизации, основанные на численных методах расчета напряженно-деформированного состояния, недостаточно экономичны.

Таким образом, актуальна разработка эффективных алгоритмов параметрического исследования и оптимизации однонаправленно армированных тонкостенных панелей, основанных на совместном использовании аналитического и численного моделирования их деформирования, для отыскания геометрических параметров таких конструкций, обеспечивающих достаточную прочность и жесткость при минимальной массе.

Эта задача сопряжена с реализацией разработанных алгоритмов и моделей на базе исследовательского пакета программ с открытым кодом. Для снижения трудоемкости проведения таких расчетов целесообразна разработка специализированных программных средств задания данных о математической модели.

Вторая глава посвящена разработке двухуровневой модели деформирования однонаправленно армированных тонкостенных коробчатых панелей из полимерных композиционных материалов.

В основу двухуровневой модели положено представление об упругом деформировании конструкции под нагрузкой, причем на верхнем уровне (макромодель) не учитываются локальные эффекты, связанные с деформированием отдельных конструктивных элементов, подлежащие уточнению на метауровне.

Деформирование тонкостенной панели из скрепленных профилей (рисунок 1), опертой на лаги, на макроуровне рассматривается как деформирование слоистой прямоугольной пластины, в которой средний податливый слой имитирует работу системы вертикальных стенок. В рамках теории слоистых пластин принимается кинематическая гипотеза Тимошенко и гипотеза о недеформируемости пластины по толщине. Данные гипотезы позволяют выразить деформации пластины через перемещения координатной поверхности и углы поворота нормали к ней.

Рисунок 1 - Участок коробчатой панели и система координат

Деформирование трехслойной пластины описывается системой дифференциальных уравнений равновесия, связывающих действующие на элемент пластины усилия и моменты с распределенными силами:

, ,

, , (1)

,

где p – величина действующей на поверхности пластины распределенной нагрузки, - погонные усилия и моменты, действующие на элемент пластины.

На торцах пластины могут быть заданы граничные условия, соответствующие опиранию крайнего или внутреннего пролета многопролетной панели. Статические граничные условия подразумевают задание на краях x=const усилий и моментов , а на краях y=const усилий и моментов . Кинематические граничные условия записываются через перемещения координатной плоскости и углы поворота нормали к ней – . Деформирование участка панели, состоящей из большого числа скрепленных профилей, расположенного между двумя соседними лагами, на макроуровне рассматривается как цилиндрический изгиб трехслойной пластины, что приводит к решению краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения относительно перемещений. Получены выражения максимальных прогибов и напряжений в зависимости от параметров конструкции.

На макроуровне рассматривается общая потеря устойчивости несущих слоев панели при сжатии с четырех сторон. Для определения коэффициента запаса по устойчивости предполагается, что начальное напряженное состояние пластины является безмоментным, и рассматривается фиктивная поперечная нагрузка вида

, (2)

где – внутренние тангенциальные силы начального безмоментного состояния пластины, – кривизны и кручение срединной поверхности пластины при искривленной форме равновесия. На границах пластины рассматриваются условия шарнирного опирания. В итоге получается задача Штурма-Лиувилля, в которой неизвестными собственными функциями являются приращения перемещений, а собственными числами – критические нагрузки.

Модель макроуровня позволяет получить аналитическую зависимость максимальных прогибов, напряжений и коэффициента запаса по устойчивости от конструктивных параметров. Это позволяет решать задачу оптимизации по массе на макроуровне с использованием методов прямого перебора, так как значения целевой функции и ограничений вычисляются достаточно быстро. В то же время изменение конструктивных параметров может приводить к выходу из области адекватности модели макроуровня, и требуется уточнение положения оптимума с учетом силового взаимодействия элементов конструкции при описании деформирования с более общих позиций, что достигается использованием модели метауровня.

На метауровне гипотезы теории тонких ортотропных пластин принимаются раздельно для участков полок и стенок. Модель деформирования строится с использованием метода конечных элементов в форме метода перемещений. Для вывода разрешающих уравнений используется условие минимума функционала Лагранжа. Дискретизация производится с использованием треугольного конечного элемента Зенкевича с линейной аппроксимацией мембранных перемещений и эрмитовой аппроксимацией прогибов.

Потенциальная энергия панели равна суммарной энергии деформации системы пластин за вычетом работы внешних сил:

, (3)

где S2 – часть границы, на которой заданы внешние нагрузки р; e - вектор-столбец компонент деформации; - вектор-столбец компонент напряжения; u – искомый вектор перемещений; V – объем упругого тела. Используя кинематические гипотезы теории пластин, в пределах каждого конструктивного элемента энергию деформации можно выразить поверхностным интегралом по площади координатной поверхности S:

, (4)

где - вектор-столбец компонент деформаций срединной поверхности; D – интегральная по толщине матрица упругости пластины. Искомое поле перемещений u и вектор компонент деформаций связаны дифференциальными соотношениями Коши.

Решение вариационной задачи (3) сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений в перемещениях.

, (5)

где K – матрица жесткости, u – вектор узловых перемещений, Q – вектор эквивалентных узловых сил. По найденным значениям узловых перемещений определяются напряжения и деформации.

Для решения задачи устойчивости в записи функционала учитывается работа докритических напряжений на нелинейных составляющих деформаций. Условие равенства нулю второй вариации потенциальной энергии приводит к обобщенной задаче собственных чисел и векторов для пары матриц – жесткости K и геометрической жесткости G:

, (6)

где - отношение критической нагрузки к приложенной.

Модель метауровня позволяет рассчитать значения параметров состояния при фиксированных значениях конструктивных параметров. Её использование при оптимизации сопряжено с необходимостью построить экономичный алгоритм получения параметрических зависимостей параметров состояния от конструктивных параметров.

Достоверность результатов моделирования устанавливалась сопоставлением с результатами испытаний конструкций-аналогов, для которых были проведены расчеты напряжений, прогибов и критических нагрузок потери устойчивости по тем же алгоритмам (рисунок 2).

Найдено, что рассчитанная величина прогиба отличается от измеренной на 4%, кроме того, значения разрушающих нагрузок по расчетной модели отклоняются от значений сил, при которых происходило разрушение панели, не более чем на 4%. Это позволяет говорить достаточной точности модели макроуровня для отыскания значений параметров состояния.

Рисунок 2 – Диаграмма испытаний конструкций-аналогов:

по горизонтали - нагрузка, по вертикали – прогиб (в долях от допустимых)

В третьей главе разработан численно-аналитический алгоритм параметрического исследования и оптимизации однонаправленно армированных панелей. При параметрическом исследовании возникает необходимость рассмотрения зависимости решения как минимум от трех варьируемых параметров – толщин обеих полок и стенок профиля.

Для определения зависимости решения задачи статики от трех параметров разработан алгоритм решения системы уравнений с матрицей, линейно зависящей от трех параметров:

, (7)

где K0 – глобальная матрица жесткости для варианта конструкции с базовыми значениями параметров, C1, C2, C3 – глобальные матрицы приращений. Решение системы (7) ищется в виде ряда по степеням трех варьируемых параметров:

(8)

Коэффициенты разложения в ряд отыскиваются путем подстановки равенства (8) в уравнение (7), приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях варьируемого параметра и последующего многократного решения систем линейных алгебраических уравнений с матрицей высокого порядка:

, (9)

Методика малого параметра используется для выбора оптимальных характеристик материала однонаправленно армированного композита. В качестве варьируемого параметра выступает объемная доля армирующего волокна.

Зависимость матрицы упругости материала D от объемной доли армирующих волокон при малых изменениях параметра представляется линейной аппроксимацией

, (10)

где D0 – матрица упругости для базового материала, D1 – матрица, содержащая приращения модулей упругости. Для нахождения коэффициентов зависимости решения от введенного параметра, рассматривается решение системы вида

, (11)

где K0 и K1 – компоненты линеаризации глобальной матрицы жесткости, R – вектор правой части. Решение системы (11) ищется в виде ряда по степеням параметра:

, (12)

где ui – числовые векторы-столбцы. Подстановка равенства (12) в уравнение (11) позволяет получить рекуррентные соотношения для вычисления векторов ui.

Для тонкостенной панели при действии распределенной нагрузки получена зависимость прогибов панели от объемной доли армирующего волокна (рисунок 3, а) и зависимость прогибов от изменения толщин полок и стенок (рисунок 3,б).

а б

Рисунок 3 – а – зависимость прогиба панели от объемной доли армирующих волокон при различном числе коэффициентов ряда n, б – зависимость прогибов от изменения толщины верхней полки при различном порядке полинома m

Задача оптимизации конструкции на макроуровне рассматривается в следующем виде. Минимизируется удельная масса панели

(13)

при ограничениях:

(14)

где - зависимость максимального прогиба балки от толщин полок и стенки h1, h2, h3, - максимальный допустимый прогиб балки, - технологические ограничения на толщины элементов конструкции, - предельные значения продольных, поперечных и касательных напряжений в материале, - минимальные критические нагрузки потери устойчивости стенок и полок при заданных значениях параметров. Нахождение оптимума выполняется сведением трехпараметрической задачи к серии одномерных задач.

Для уточнения оптимума по модели метауровня ищется зависимость решения задачи статики в виде полинома по степеням трех параметров в окрестности оптимума, найденного по модели макроуровня. Далее решается задача оптимизации, в которой прогибы и напряжения заменяются аппроксимирующими полиномами (рисунок 4 а, б). Полученная точка принимается за следующее приближение. Уточнения выполняются до тех пор, пока не будет получен оптимум с заданной точностью.

а б

Рисунок 4 – а – изолинии прогибов и массы при одновременном увеличении толщины полок, б – изолинии прогибов при постоянной массе

Данный алгоритм оптимизации оказывается наиболее эффективным при полиномиальной аппроксимации функции отклика в сочетании с прямым методом расчета. Градиентный метод потребовал на 23% больше времени при 41382 степенях свободы и на 55% при 146046 степенях свободы. При увеличении числа степеней свободы трудоемкость построения полиномиальной поверхности отклика в сочетании с прямым методом решения СЛАУ уменьшается по сравнению с другими методами оптимизации. Погрешность полиномиальной аппроксимации максимального прогиба по сравнению с результатом прямого расчета не превысила 0,9% при порядке полинома, равном пяти, и 4% – при порядке полинома, равном двум.

Описанная методика применялась для нахождения оптимальных геометрических параметров тонкостенных профилей, предназначенных для изготовления настила пола железнодорожного транспорта и настилов пешеходных мостов и переходов (рисунок 5, а, б). Получено снижение массы конструкции в первом случае на 40%, а во втором случае – на 25%.

а

б

Рисунок 5 – а, б – сечения профилей тонкостенных панелей

В четвертой главе рассматриваются вопросы программной реализации алгоритмов математического моделирования. Предложен подход, в котором совмещены интерактивные графические средства редактирования с интерпретатором входного языка (рисунок 6).

Рисунок 6 – Взаимодействие объектов при редактировании модели

Для снижения трудоемкости проведения серии расчетов в процессе создания геометрической модели формируется протокол визуальных построений на входном языке, в который в виде переменных заносятся параметры модели. При формировании данных с измененными параметрами выполняется повторная интерпретация протокола с присвоением новых значений соответствующим переменным. Это обеспечивает возможность автоматической модификации данных при изменении проектных параметров. В целях реализации данного подхода предложена объектная структура взаимодействия средств визуального редактирования модели и интерпретатора входного языка и разработаны макрокоманды входного языка, реализующие геометрические построения. В структуре математической модели выделено множество объектов для представления геометрических, топологических и физико-механических данных о структурно-геометрической модели, надстройкой над которым является множество объектов конечно-элементной модели. Предложенные программные решения реализованы в исследовательском пакете программ математического моделирования «Композит».

Программы, реализующие разработанные в диссертации алгоритмы на базе построенных математических моделей, используются в ООО «Компания «Армопроект» при проектировании тонкостенных конструкций, изготавливаемых методом пултрузионного формования, что подтверждено актом о внедрении.

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана математическая модель деформирования и устойчивости тонкостенных коробчатых конструкций из однонаправленно армированных полимерных композиционных материалов, включающая модель макроуровня для анализа поведения панели в целом и модель метауровня для исследования поведения конструкции с учетом силового взаимодействия составляющих её частей на основе метода конечных элементов.

2. Разработан алгоритм оптимизации по массе тонкостенных коробчатых панелей из композиционных материалов с использованием двухуровневой модели, включающий предварительный расчет оптимума на основе ограничений по максимальному прогибу и общей устойчивости панели в целом с последующим уточнением оптимума на модели метауровня, учитывающим ограничения по деформациям, напряжениям, общей и местной устойчивости отдельных элементов конструкции.

3. Предложен алгоритм отыскания зависимости параметров напряженно-деформированного состояния однонаправленно армированной конструкции от объемной доли волокна, сочетающий численный метод конечных элементов с аналитическим разложением решения в ряд по варьируемому малому параметру. Сходимость алгоритма показана на тестовых примерах.

4. Разработан алгоритм отыскания зависимости параметров напряженно-деформированного состояния конструкции от трех геометрических параметров, сочетающий численное решение задачи статики с нахождением аналитической зависимости полученного решения в виде ряда по степеням трех параметров. Для определения области изменений параметров, позволяющих получить достоверное решение, получена апостериорная оценка радиуса сходимости ряда.

5. На основе объектно-ориентированного подхода разработана архитектура программного средства формирования модели для пакета программ математического моделирования, позволяющего снизить трудоемкость проведения расчетов на серии моделей, различающихся конструктивными параметрами, за счет формирования протокола визуальных построений модели и его последующей многократной интерпретации с измененными значениями варьируемых параметров. Программное средство реализовано в виде открытой библиотеки классов и алгоритмов и внедрено в пакет программ «Композит».

6. Реализованные модели, алгоритмы и программные средства использованы для исследования напряженно-деформированного состояния и оптимизации по массе однонаправленно армированных композитных панелей настила пола железнодорожных вагонов и настила пешеходных мостов, что позволило снизить массу проектируемых конструкций на 40% в первом случае и на 25% во втором.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Глечиков, Д.И. Разработка препроцессора к пакету программ для математического моделирования пространственных конструкций [Текст]/ Д.И. Глечиков, А.Е. Анищенко, Н.Н. Галактионова // Наука и молодежь: проблемы, поиски, решения: Труды Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. – Вып. 11. – Ч. IV. Технические науки. – Новокузнецк: СибГИУ, 2007. – С. 6 – 11.
2. Каледин, В.О. Разработка препроцессора к пакету программ для параметрического исследования пространственных конструкций [Текст] / В.О. Каледин, Д.И. Глечиков, А.Е. Анищенко // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием: Ч.1. – Самара: СамГТУ, 2007. – С. 115 – 117.
3. Каледин, В.О. Пакет программ для математического моделирования в механике конструкций [Текст] / В.О. Каледин, Д.И. Глечиков // Инновационные недра Кузбасса. IT-технологии: сборник научных трудов. – Кемерово: ИНТ, 2008. – С. 342-347.
4. Каледин, В.О. Открытая архитектура программ для математического моделирования в механике конструкций [Текст]/ В.О. Каледин, Д.И. Глечиков, В.Д. Локтионов // Вестник МЭИ. ­­– 2008. – № 4. – С. 14 – 20.
5. Глечиков, Д.И. Моделирование и оптимизация тонкостенных однонаправленно армированных панелей из полимерных композиционных материалов [Текст]/ Д.И. Глечиков // Краевые задачи и математическое моделирование: сб. ст. 9-й Всероссийской научной конференции. - В 3 т. Т. 1. / Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2008. – C. 26-31.

Глечиков

Дмитрий Игоревич

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ТОНКОСТЕННЫХ
ОДНОНАПРАВЛЕННО АРМИРОВАННЫХ ПАНЕЛЕЙ

ИЗ ПОЛИМЕРНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХМАТЕРИАЛОВ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

______________________________________________________________

Подписано в печать 19.12.2008г. Формат 60x84 1/16.

Бумага писчая. Ризография.

Усл.печ.л. 1.0 Уч.-изд. 1.04 Тираж 100 экз.

Заказ № 151

______________________________________________________________

Новокузнецкий филиал-институт

государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Кемеровский государственный университет»

654041, Новокузнецк, ул. Кутузова, 56, тел. (3843) 71-46-96

Редакционно-издательский отдел